Восх..щения -объяснить пропускол..мпийских медалей -что пишется в корне и почемуни писали -почему ни раздельно что-то

Восхищения - проверочного слова нет, словарное слово.

Олимпийских медалей - проверочное слово Олимп. 

Ни писали - частица НИ пишется слитно только в отрицательных местоимениях без предлогов (ничто, никто) и в наречиях (ниоткуда, никуда). Во всех остальных случаях частица НИ пишется раздельно.

Что-то - пишется через дефис. Неопределенные местоимения с -то, -либо, -нибудь ВСЕГДА пишутся через дефис.

Хочется - пишется без мягкого знака. Для проверки надо поставить к слову вопрос \"Что делается?\" Если в вопросе мягкого знака нет, то и в слове его не будет.