Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 41 см, а его площадь равна 180 см². Найдите катеты этого треугольника .

   1. Пусть:

• a и b - катеты прямоугольного треугольника, a ≥ b;
• c = 41 см - его гипотенуза;
• S = 180 см^2 - площадь.

   2. По теореме Пифагора получим:

      a^2 + b^2 = c^2. (1)

   3. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

      S = 1/2 * ab. (2)

   4. Из уравнений (1) и (2) составим систему и решим ее, учитывая условие задачи:

• {a^2 + b^2 = c^2;{S = 1/2 * ab;
• {a^2 + b^2 = 41^2;{ab = 2 * 180;
• {a^2 + b^2 = 1681;{ab = 360;
• {(a + b)^2 - 2ab = 1681;{(a - b)^2 + 2ab = 1681;{ab = 360;
• {(a + b)^2 - 2 * 360 = 1681;{(a - b)^2 + 2 * 360 = 1681;
• {(a + b)^2 = 2401;{(a - b)^2 = 961;
• {a + b = 49;{a - b = 31;
• {2a = 49 + 31;{2b = 49 - 31;
• {a = 40;{b = 9.

   Ответ: 9 см и 40 см.