Найдите последнюю цифру 13^13

Чтобы узнать последнюю цифру числа 13^13 нужно решить сравнение:

13^13 ≡ x (10), где за х обозначим последнюю цифру.

По теореме Эйлера число (у нас – 13) в степени функции Эйлера от значения модуля (в нашем случае модуль равен 10) сравнимо с 1 по данному модулю.

Для начала посчитаем значение функции Эйлера для числа 10:

φ(10) = 10 * (1 - (1 : 2)) * (1 - (1 : 5)) = 4 

По свойству степеней представим 13^13 как:

(13^4)^3 * 13

По свойству Эйлера получили, что 

13^4 ≡ 1 (10)

Следовательно, 

(13^4)^3 * 13 ≡ x (10)

1 * 13 ≡ x (10)

13 ≡ x (10)

3 ≡ x (10)

Ответ: последняя цифра 13^13 есть 3.