В какую окружность можно вписать прямоугольник наибольшей площади, если его периметер равен 56 см.

Если вписать прямоугольник в окружность, диагонали прямоугольника будут являться диаметрами окружности.

Площадь  прямоугольника можно вычислить по формуле: S = 1/2 * d₁ * d₂ * sina (где d₁ и d₂ - это диагонали прямоугольника, а - острый угол между ними).

Так как диагонали прямоугольника равны, то формула приобретает вид: S = 1/2 * d² * sina.

Синус острого угла может быть больше нуля и меньше (или равен) единице.

Чтобы площадь была наибольшей, нужно в формулу подставить значение наибольшего синуса, а это единица. Если sina = 1, значит угол между диагоналями равен 90° (sin90° = 1).

Прямоугольник, у которого диагонали пересекаются под прямым углом - это квадрат.

Вычислим длину стороны квадрата через периметр: 56 : 4 = 14 (см).

Вычислим длину диагонали по теореме Пифагора (две соседние стороны квадрата и диагональ образуют прямоугольный треугольник):

d = √(14² + 14²) = √(2 * 14²) = 14√2 (см).

Значит, диаметр окружности равен 14√2 см, следовательно, радиус равен R = 14√2 : 2 = 7√2 см.

Ответ: в окружность радиуса 7√2 см.