Какая граматическая основа в предложении оттого поет он эти песни в слух.

В заданном предложении грамматической основой является подлежащее - он, выраженное личным местоимением мужского рода, единственного числа в форме Именительного падежа, и сказуемое - поет, выраженное глаголом в настоящем времени, единственного числа, 3 лица.