Задача на оптимизацию. В равнобедренный треугольник со сторонами 15, 15, 24 вписан параллелограмм так, что угол при основании

Дан треугольник АВС.

Точка M лежит на стороне АВ, точка N лежит на стороне ВС, точка K лежит на основании АС.

Пусть одна сторона параллелограмма равна а, а другая сторона равна b.

Samnk = a * b * sinA.

По теореме косинусов: 15^2 = 15^2 + 24^2 – 2 * 24 * 15 * cosA.

CosA = 24/30 = 4/5.

sinA = (1 – (cosA)^2)^(1/2) = (1 – 16/25) = 3/5.

Так как угол при основании треугольника и параллелограмма общий, то треугольники MBN и ABC подобные.

Следовательно, по свойству подобия 15/(15 – a) = 24/b.

15 * b = 24 * (15 – a).

b = 24 – 24 * a/15.

Samnk = a * b * sinA = a * ( 24 – 24 * a/15) * (3/5) = (72/5) * a – (72/75) * a^2.

Найдем экстремум этой функции:

S\' = ((72/5) * a – (72/75) * a^2)\' = (72/5) – (2 * 72/75) * a = 0.

(2 * 72/75) * a = 72/5.

a = 15/2 = 7,5.

тогда, b = 24 – 24 * a/15 = 24 – 24 * 15/(2 * 15) = 24 – 12 = 12.