Градусная мера угла ромба равна 60°.Вычислите площадь круга,вписанного в этот ромб,если длина его меньшей диагонали равна

1. Известно:

     а) диагонали ромба делят углы ромба пополам и в точке пересечения перпендикулярны и делятся пополам;

    б) площадь круга равна  П * R^2;

    в) радиус вписанной в ромб окружности R = d1 * d2 : 4 * а, где d1 и d2 - диагонали ромба, а - его сторона.

2. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, найдем половину второй диагонали d2, если известно, что  d1 = 6 см.

    d1/2 : d2/2 = tg30*;

    d2/2 = d1/2 : tg30* = 3 : 3^1/2 : 3 = 9 : 3^1/2;

    d2 = 18 : 3^1/2.

3. По теореме Пифагора из этого же треугольника вычислим сторону ромба а, которая в треугольнике является гипотенузой.

   а ^2 = (d1/2)^2 +(d2)^2  = 9 + (9 : 3^1/2)^2 = 9 + 27 = 36;

    а = 36^1/2 = 6 см.

4. Вычислим радиус R вписанной окружности.

    R = d1 * d2 : 4 * а = (6 * 18 : 3^1/2 ) : 4 * 6 = 4,5 : 3^1/2 см.

5. Найдем площадь S вписанной окружности.

   S = П * R^2 = 3,14 * 4,5^2 : 3 = 3,14 * 20,25 : 3 = 21,2 см^2.

 Ответ: Площадь вписанной окружности равна 21,2 квадратных сантиметров.