Из проволоки длиной 90 см нужно сделать модель призмы с правильным треугольником в основании. Какова должна быть сторона

Дана проволока длиной 90 см, значит, периметр призмы (сумма длин всех ребер) будет равна 90 см.

Пусть сторона основания призмы будет равна а, а боковое ребро будет равно b.

У треугольной призмы 6 сторон основания (3 у верхнего основания и 3 у нижнего) и 3 боковых ребра, значит, периметр призмы будет равен: 6а + 3b = 90.

Выразим отсюда длину бокового ребра:

3b = 90 - 6a.

b = 30 - 2a.

Боковая поверхность призмы - это три прямоугольника, длина которого - это высота призмы (боковое ребро), а ширина - это длина основания призмы.

Значит, площадь одного прямоугольника будет равна S = a(30 - 2a) = 30a - 2a².

Значит, площадь боковой поверхности равна S_бок = 3 * (30a - 2a²) = 90а - 6а².

Найдем точку максимума функции через производную:

у\' = 90 - 12а.

у\' = 0; 90 - 12а = 0; 12а = 90; а = 7,5.

Определим, а = 7,5 - это точка минимума или точка максимума.

Пусть а = 0; у\'(0) = 90 - 12 * 0 = 90 (плюс) функция возрастает.

Пусть х = 8; у\'(8) = 90 - 12 * 8 = -6 (минус) функция убывает.

Значит, а = 7,5 - это точка максимума.

Ответ: сторона основания должна быть 7,5 см.