Как объяснить написание буквы е в слове пришел? Она как-то проверяется, или нужно просто запомнить ?

Буква \"ё\" в слове \"пришёл\" проверяется по правилу.

Чтобы узнать, какая буква пишется в корне слова после шипящих под ударением, нужно изменить слово или подобрать к нему однокоренное. Если в результате подбора или изменения слова \"ё\" будет чередоваться с \"е\", то в корне пишется \"ё\".

пришёл — пришедший

Буква \"ё\" чередуется с \"е\", значит, в слове \"пришёл\" пишется \"ё\", а не \"о\".