в квадрате со стороной 6 см последовательно соединяли середины всех сторон. Получили снова квадрат, площадь которого

Пусть АВСД - данный квадрат. Точка Е - середина АВ, М - середина ВС, К - середина СД, Р - середина АД.

1) Докажем, что ЕМКР - квадрат.

Рассмотрим треугольник ЕВМ: угол В = 90° (так как у квадрата все углы по 90°). ВЕ = ВМ (так как это половины равных сторон квадрата). Значит, треугольник равнобедренный. Следовательно, угол Е равен углу М = (180° - 90°) : 2 = 45°.

Аналогично доказывается, что в треугольнике АЕР углы Е и Р равны 45°.

Значит, АЕР + РЕМ + ВЕМ = 180° (это развернутый угол АВ).

45 + РЕМ + 45 = 180.

угол РЕМ = 90°.

Так как все треугольники АЕР, ЕВМ, МСК и КДР равны, значит, у четырехугольника ЕМКР все уголы равны 90°.

2) Пусть сторона квадрата АВСД равна а, тогда его площадь будет равна квадрату стороны:

S(АВСД) = а².

Площадь квадрата ЕМКР будет равна квадрату стороны, например ЕМ. 

S(ЕМКР) = ЕМ².

Рассмотрим треугольник ЕВМ (угол В = 90°), по теореме Пифагора:

ЕМ² = EB² + BM². ЕВ и ВМ равны половине стороны квадрата, то есть а/2.

ЕМ² = (а/2)² + (а/2)² = а²/4 + a²/4 = 2a²/4 = a²/2.

Значит, площадь ЕМКР равна S(ЕМКР) = a²/2, то есть в два раза меньше площади АВСД.