Площадь прямоугольного треугольника равна 44 см2. Если один из его катетов уменьшить на 1 см, а другой увеличить на 2

Дано: S₁ = 44 см², S₂ = 50 см², a₂ = a₁ - 1, b₂ = b₁ + 2. Найти: a₁ = ?, b₁ = ?.

Решение:

Площадь треугольника до изменения сторон равна:

S₁ = (1/2) * a₁ * b₁.

Площадь треугольника после изменения сторон:

S₂ = (1/2) * a₂ * b₂ = (1/2) * (a₁ - 1) * (b₁ + 2).

Выразим один из катетов из первого равенства:

a₁ = 2 * S₁ / b₁

и подставим во второе уравнение:

S₂ = (1/2) * ((2S₁ / b₁) - 1) * (b₁ + 2).

Используя значения площадей из условия, получим квадратное уравнение и решим его через дискриминант:

50 = (1/2) * ((2 * 44 / b₁) – 1) * (b₁ + 2);

100 = 88 – b₁ + 176/b₁ – 2;

14 + b₁ – 176/b₁ = 0;

b₁² + 14b₁ – 176 = 0;

D = 196 + 704 = 900;

√D = 30.

В результате получим два значения стороны b₁:

b₁ = (-14 + 30)/2 = 8;

или

b₁ = (-14 – 30)/2 = -22.

Так как длина не может быть отрицательной, то второе решение отбрасываем, тогда b₁ = 8. С учётом найденного значения ищем катет a₁:

44 = (1/2)a₁ * 8;

a₁ = 11.

Ответ: a₁ = 11, b₁ = 8.