Определите без построения графика, при каком значении х квадратичная функция y=-2x^2+8x+1 принимает наибольшее значение?

Найдем производную функции:

y^| = ( - 2x² + 8x + 1)^|.

Производная суммы равна сумме производных:

 ( - 2x²)^| + (8x)^| + 1^|;

Постоянная выносится за знак производной, а производная постоянной равна 0:

 - 2 (x²)^| + 8 (x)^| + 0 = - 2 * 2x^{2 – 1} + 8 * 1 = - 4 x + 8.

Найдем точки экстремума: для этого решим уравнение y^| = 0.

- 4x + 8 = 0.

Перенесем 8 вправо, поменяв знак на противоположный:

- 4х = 0 – 8;

- 4х = - 8.

Найдем неизвестный множитель: разделим произведение на известный множитель.

х = - 8 / - 4;

х = 2.

Определим знак производной в окрестностях точки х = 2.

y^|(1) = - 4 * 1 + 8 = - 4 + 8 = 4 > 0;

y^|(3) = - 4 * 3 + 8 = - 12 + 8 = - 4 < 0.

Так как при переходе через точку х = 2 функция меняет возрастание на убывание, то х = 2 – точка максимума функции. Других точек экстремума у функции нет, значит, наибольшее значение функция принимает в точке х = 2.

Ответ: г) 2.