Треугольник ABC-прямоугольный (уголС=90), BC=6см, проекция катета AC на гипотенузу равна 5см. Найдите площадь треугольника

1. Дано: http://bit.ly/TreABC6i5, где ∠AСВ = 90°, BC = 6 см, проекция катета AC на гипотенузу равна 5 см. Требуется найти: площадь треугольника ABC.
2. Проведём высоту CD к гипотенузе АВ. Так как высота, проведенная к гипотенузе, представляет собой проведенный к ней перпендикуляр, то катеты — это наклонные, а отрезки гипотенузы, на которые делит ее высота — проекции катетов на гипотенузу прямоугольного треугольника. В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, AD — проекция катета AC на гипотенузу AB, аналогично, BD — проекция катета BC на гипотенузу.
3. Воспользуемся свойствами катетов прямоугольного треугольника. А именно, свойством: «Катет прямоугольного треугольника есть среднее геометрическое между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу». Имеем: BC² = AB * BD.
4. Поскольку, АВ = AD + BD и AD = 5 см, то BD = АВ – AD = АВ – 5 см.
5. Следовательно, (6 см)² = AB * (АB – 5 см), откуда АВ² – 5 * АВ – 36 = 0. Это квадратное уравнение имеет два корня: АВ = 9 и АВ = –4 (побочный корень).
6. Теперь применяя теорему Пифагора, получим: АС² + ВС² = АВ² или АС² = АВ² – ВС² = (9 см)² – (6 см)² = 81 см² – 36 см² = 45 см², откуда АС = √(45 см²) = 3 * √(5) см.
7. Искомую площадь (S) треугольник АВС найдём перемножая его катеты и поделив результат пополам: S = ½ * АС * ВС = ½ * (3 * √(5) см) * (6 см) = 9 * √(5) см².

Ответ: 9 * √(5) см².