Найдите пятый член геометрической прогрессии, состоящей из восьми членов , если сумма её членов с чётными номерами равна

Воспользуемся формулой n – ого члена геометрической прогрессии b_n = b₁ *  q ^n-1.

Тогда сумма четных членов прогрессии равна:

S1 = b₁ *  q ¹ + b₁ *  q ³ + b₁ *  q ⁵ + b₁ *  q ⁷ = 1360.

Вынесем (b₁ *  q ) за скобки как общий множитель.

S1 = (b₁ *  q ) * (1 + q ² + q ⁴ + q ⁶) = 1360.

Сумма нечетных членов прогрессии равна:

S2 = b₁ + b₁ *  q ² + b₁ *  q ⁴ + b₁ *  q ⁶ = 680.

Вынесем b₁ за скобки как общий множитель.

S2 = b₁ * (1 + q ² + q ⁴ + q ⁶) = 680.

Разделим S1 / S2.

((b₁ *  q ) * (1 + q ² + q ⁴ + q ⁶)) / (b₁ * (1 + q ² + q ⁴ + q ⁶)) = 1360 / 680.

После сокращения получим:

q = 1360 / 680 = 2.

Найдем первый член прогрессии.

b₁ * (1 + q ² + q ⁴ + q ⁶) = b₁ * (1 + 2 ² + 2 ⁴ + 2 ⁶) = b₁ * 85 = 680.

b₁ = 680 / 85 = 8.

Тогда b₅ = b₁ *  q ⁴ = 8 * 2⁴ = 128.

Ответ: Пятый член прогрессии равен 128.