Последовательность(an ) − арифметическая прогрессия.Найдите сумму двадцати первых ее членов, если a1+a4+a7=45, a4∙a6=315.

Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, задаваемая двумя параметрами a, d  и законом , an = a1 + (n-1) * d , где  d  — разность данной арифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:

Sn = n * (a1 + an) /2. 

Используя эти аргументы найдем необходимые данные.

1. Из первого условия:

a₁ + a₄ + a₇ = a₁ + (a₁ +3d) + (a₁ + 6d) = 3a₁ +9d = 45

   3a₁ + 9d = 45 – сократим обе части равенства на 3;

    a₁ + 3d = 15: 

2. Во втором условии: (a₁ + 3d )( a₁ + 5d) = 315.

Делаем замену  a₁ + 3d на число 15, 15 * (a₁ + 5d) = 315 – сокращаем обе части равенства на 15; a₁ + 5d = 21.

Теперь решаем систему равенств и находим первый член: a₁ + 3d = 15; a₁ + 5d = 21 ;

2d = 6 ⇒  d = 3;

a1 + 3 * 3 = 15; ⇒ a1 = 15 - 9 = 6; ⇒ a1 = 6;

2) Теперь определяем двадцатый член:

a₂₀ = a1 + 19 d = 6 + 19 *3 = 6 + 57 = 63;

И наконец, находим сумму первых двадцати членов.

S₂₀ = ( 6 + 53) * 20 / 2 = 59 * 10 = 590