8sin20sin40sin60sin80 упростить

1. Требуется упростить тригонометрическое выражение 8 * sin20º * sin40º * sin60º * sin80º. Обозначим его через А.
2. Прежде всего, по таблице основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса находим sin60° = √(3) / 2 и подставим это на своё место в А. Тогда, А = 8 * sin20º * sin40º * (√(3) / 2) * sin80º = (4 * √(3)) * sin20º * sin40º * sin80º.
3. Воспользуемся формулой sinα * sinβ = ½ * (cos(α – β) – cos(α + β)) и чётностью косинуса (то есть, cos(–α) = cosα). Тогда, найдём А = (4 * √(3)) * (½ * (cos(20º – 40º) – cos(20º + 40º)) * sin80º) = (2 * √(3)) * (cos20º – cos60º) * sin80º.
4. Ещё раз обратимся к таблице основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса и находим cos60º = ½. Тогда, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания, имеем: А = (2 * √(3)) * (cos20º – ½) * sin80º = √(3) * (2 * sin80º * cos20º – sin80º).
5. Теперь воспользуемся формулой sinα * cosβ = ½ * (sin(α + β) + sin(α – β)) и одной из формул приведения, а именно формулой sin(180º – α) = sinα. Кроме того, вспомним, что sin60º = √(3) / 2. Следовательно, А = √(3) * (2 * ½ * (sin(80º + 20º) + sin(80º – 20º)) – sin80º) = √(3) * (sin100º + sin60º – sin80º) = √(3) * (sin(180º – 80º) + √(3) / 2 – sin80º) =√(3) * (sin80º + √(3) / 2 – sin80º) = √(3) * √(3) / 2 = 3 / 2 = 1,5.

Ответ: 1,5.