Как решить производную функцию дроби 1+16x^2/arctg4x по формуле (u/v)'= u'*v-u*v'/v^2

Найдём производную нашей данной функции: f(x) = (1 + 16x^2 / arctg (4x)).

Воспользовавшись основными формулами и правилами дифференцирования:

(x^n)’ = n * x^(n-1).

(с)’ = 0, где с – const.

(с * u)’ = с * u’, где с – const.

(arctg (x))’ = 1 / (1 + х^2).

(u ± v)’ = u’ ± v’.

(u / v)’ = (u’v - uv’) / v².

y = f(g(x)), y’ = f’u(u) * g’x(x), где u = g(x).

Таким образом, производная нашей данной функции будет выглядеть следующим образом:

f(x)\' = (1 + 16x^2 / arctg (4x))’ = ((1 + 16x^2)’ * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (arctg (4x))’) / (arctg (4x))^2 = (((1)’ + (16x^2)’) * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (4x)’ * (arctg (4x))’) / (arctg (4x))^2 = ((0 + 16 * 2 * x^1)’) * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + *(4х)^2))) / (arctg (4x))^2 =

((0 + 16 * 2 * x^1)’) * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * 4 * (1 / (1 + * (4х)^2))) / (arctg (4x))^2 = (32x * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16х^2))) / (arctg (4x))^2.

Ответ: f(x)\' = (32x * arctg (4x) + (1 + 16x^2) * (4 / (1 + * 16х^2))) / (arctg (4x))^2.