Дана правильная треугольная пирамида со стороной основания 12. Боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания

Для решения задачи рассмотрим рисунок.

Воспользуемся формулой объема конуса. V = (п * R² * H) / 3 = (п * OC² * SO) / 3.

Найдем радиус конуса.

Окружность основания конуса описана вокруг правильного треугольника со стороной 12 см.

Тогда радиус окружности равен: R = OC = (a * √3) / 3 = (АС * √3) / 3 = (12* √3) / 3 = 4 * √3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ODC, у которого гипотенуза равна радиусу окружности конуса, а катет DC равна половине стороны треугольника.

Найдем катет OD.

OD² = OC² – DC² = (4 * √3)² – (12/2)² = 48 – 36 = 12.

OD  = √12 = 2 * √3.

Найдем высоту конуса SO.

Рассмотрим прямоугольный треугольный SOD  у которого угол SDO равен 30⁰, а катет OD равен (2 * √3). Угол DSO = 180 – 90 – 30 = 60⁰.

Тогда высота SO = OD / (tg 60⁰). = (2 * √3) / √3 = 2.

Тогда объем конуса равен:

V = (п * (4 * √3)² * 2) / 3 = п * 16 * 3 * 2 / 3 = 32 * п.

Ответ: Объем конуса равен (32 * п).