дана бесконечная арифметическая прогрессия, первый член которой равен 2013, а разность равна 8. Каждый член прогрессии

Пойдём от первого пункта до последнего.

А) Если коэффициент прогрессии равен 8 то, тысячный член прогрессии равен 2013 + 8 * 1000 = 10013.

Сумма цифр: 1 + 0 + 0 + 1 + 3 = 5.

Б) Теорема. Сумма цифр числа дает такой же остаток от деления на 9, что и само число.

Следствие. Последовательность, получившаяся в задании, состоит из остатков от деления на 9 членов исходной прогрессии, в которой все нули заменены девятками.

Таким образом остаток от 2013/9 равен 6, следовательно, первый член прогрессии 6

Остаток от 8/9 = 8 поэтому второй член прогрессии равен остатку (6 + 8)/9 = 5, третий (5 + 8)/9 = 4, четвертый - 3, пятый - 2, шестой - 1, седьмой (1 + 8)/9 = 0 поэтому 9, восьмой- 8, девятый - 7, десятый опять 6

Итак, последовательность периодична с периодом 9. Сумма первых 9 членов равна 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 9 + 8 + 7 = 45

сумма первых 999 (111 * 9) членов равна 111 * 45 = 4995, а сумма 1000 членов равна сумме 999 членов + A₁(то есть 6) = 5001.

В) Так как 1010/9=112 , а остаток 1010/9 = 2 , то сумма любых подряд идущих членов равна 112 * 45 + сумма следующих двух членов. Для того, чтобы сумма была наибольшей нужно, чтобы 9 и 8 попали в эту двойку.

Получается 112 * 45 + 9 + 8 = 5057.