Длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x^2-8x+14=0. Найдите длину гипотенузы треугольника.

1. Известно, что длины катетов прямоугольного треугольника являются корнями уравнения x² – 8 * x + 14 = 0. Используя этот факт, необходимо найти длину гипотенузы треугольника.
2. Предположим, что длины катетов прямоугольного треугольника x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения x² – 8 * x + 14 = 0. Длину гипотенузы этого треугольника обозначим через с. Тогда по теореме Пифагора с² = (x₁)² + (x₂)².
3. Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного трехчлена x² + p * x + q = 0, равна его коэффициенту p с противоположным знаком, а произведение – свободному члену q, то есть, если x₁ и x₂ являются корнями квадратного уравнения x² + p * x + q = 0, то x₁ + x₂ = –p и x₁ * x₂ = q.
4. В нашем примере, x₁ + x₂ = 8 и x₁ * x₂ = 14.
5. Возводим в квадрат обе стороны равенства x₁ + x₂ = 8 и воспользуемся следующей формулой сокращенного умножения (a + b)² = a² + 2 * a * b + b².
6. Имеем  (x₁ + x₂)² = 8² или (x₁)² + 2 * x₁ * x₂ + (x₂)² = 64, откуда (x₁)² + (x₂)² = 64 – 2 * x₁ * x₂.
7. С учетом равенства x₁ * x₂ = 14, получим: (x₁)² + (x₂)² = с² = 64 – 2 * 14 = 36. Следовательно, с = 6.

Ответ: Длина гипотенузы равна 6.