Определить количество корней уравнения cos2x-cos8x=sin5x на промежутке [0;Пи]

1. К левой части данного уравнения применим формулу cosα – cosβ = 2 * sin((α + β) / 2) * sin((β – α) / 2), который именуется «разность косинусов». Тогда, получим: 2 * sin(5 * x) * sin(3 * x) = sin(5 * x).
2. Последнее уравнение перепишем в виде sin(5 * x) * (2 * sin(3 * x) – 1) = 0, которое позволяет получить два уравнения: sin(5 * x) = 0 и sin(3 * x) = ½. Решим оба уравнения.
3. Решим, сначала, уравнение sin(5 * x) = 0. Это уравнение имеет корни 5 * х = π * k (где k – целое число), откуда х = (π / 5) * k.
4. Аналогично, решим  уравнение sin(3 * x) = ½. Это уравнение имеет корни 3 * х = (π / 6) + 2 * π * m (где m – целое число) и 3 * х = ((5 * π) / 6) + 2 * π * n (где n – целое число), откуда х = (π / 18) + (2 * π / 3) * m и х = ((5 * π) / 18) + (2 * π / 3) * n.
5. По требованию задания, определим количество корней данного уравнения, расположенных на промежутке [0; π]. Другими словами, определим те значения k, m и n, для которых 0 ≤ х ≤ π.
6. Для первой группы корней, имеем 0 ≤ (π / 5) * k ≤ π, откуда 0 ≤ k ≤ 5, то есть при k = 0, 1, 2, 3, 4 и 5 получаем 6 корней, расположенных на промежутке [0; π]: 0; π / 5; (2 * π) / 5; (3 * π) / 5; (4 * π) / 5; π.
7. Аналогично, для второй группы корней имеем 0 ≤ (π / 18) + (2 * π / 3) * m ≤ π и 0 ≤ ((5 * π) / 18) + (2 * π / 3) * n ≤ π, откуда –1/12 ≤ m ≤ 17/12 и –5/12 ≤ n ≤ 13/12. Следовательно, при m = 0 и 1, а также при n = 0 и 1 получаем корни данного уравнения (пока про количество корней трудно что-либо сказать). Определим эти корни. При m = 0 и 1 имеем π / 18 и (π / 18) + (2 * π / 3) = (13 * π) / 18. Аналогично, при n = 0 и 1 имеем (5 * π) / 18 и (5 * π) / 18 + (2 * π / 3) = (17 * π) / 18. Теперь стало ясно – эти корни (их 4) не совпадают с предыдущими 6 корнями и между собой.
8. Таким образом, всего 6 + 4 = 10 корней данного уравнения расположены на промежутке [0; π]. Перечислим все 10 корней из промежутка [0; π] по порядку возрастания: 0; π / 18; π / 5; (5 * π) / 18; (2 * π) / 5; (3 * π) / 5; (13 * π) / 18; (4 * π) / 5; (17 * π) / 18; π.

Ответ: 10.