Пирамида правильная треугольная ребро14 одна сторона основания 15 найти высоту

На чертеже правильный (равносторонний) треугольник АВС, который лежит в основании пирамиды: https://bit.ly/2xOMxW4.

Рассмотрим треугольник АКС.

АС = 15 (по условию). Угол С = 60 градусов, т.к. в равностороннем треугольнике все углы равны. АК : АС = sin угла С.

АК : 15 = sin 60.

АК : 15 = √3/2.

2АК = 15√3.

АК = 15√3 / 2.

АК - это высота, биссектриса и медиана треугольника АВС. Точка О делит АК в отношении 2 : 1, считая от вершины А. Значит, если ОК = х, то АО = 2х.

Получаем: АО + ОК = АК.

2х + х = 15√3 / 2.

3х = 15√3 / 2.

х = 5√3 / 2.

То есть ОК = 5√3 / 2, тогда АО = 5√3.

Рассмотрим новый чертеж: https://bit.ly/2Hmf8Bi.

Точка М - вершина пирамиды.

АМ - ребро пирамиды, которое по условию равно 14.

АО = 5√3.

МО - высота пирамиды, которую надо найти.

Треугольник АМО - прямоугольный, значит, для поиска МО используем теорему Пифагора:

МО2 + АО2 = АМ2.

МО2 + (5√3)2 = (14)2.

МО2 + 25 х 3 = 196.

МО2 + 75 = 196.

МО2 = 196 - 75.

МО2 = 121.

МО = √121.

МО = 11.

Ответ: высота пирамиды равна 11.