Вычислить двойной интеграл,ограниченного заданными линиями: ∫ ∫ по области D int x dx dy, D: y=x+2, y=x^2

1. В задании рассматривается двойной интеграл ∫∫xdxdy по области D, где область D ограничена прямой у = х + 2 и параболой у = х². По требованию задания вычислим этот интеграл, обозначая его через I.
2. Сначала на декартово координатной системе (См. http://bit.ly/ZTopsh5073) нанесём обе линии: прямую у = х + 2 (чёрный цвет) и параболу у = х² (красный цвет). На чертеже отчётливо видно, что область D заключена между двумя кусками линий: снизу куском АВ параболы и сверху куском прямой (отрезком) АВ. Решая совместно оба уравнения, легко находим координаты точек А(-1; 1) и В(2; 4).
3. Сводим данный двойной интеграл к повторному интегралу. Вычисляем внутренний (правый) интеграл (по переменной у), считая х константой. Нижней границей интегрирования внутреннего интеграла будет х², а верхней границей х + 2. Тогда, поскольку ∫dy = y + C, то применяя формулу Ньютона-Лейбница, для внешнего интеграла получаем функцию х * (х + 2 - х²).
4. Далее вычисляем внешний интеграл и окончательно получаем значение данного двойного интеграла I = 2,25.

Ответ: 2,25.