В арифметической прогрессии сумма первого и третьего члена равна 6 , а их произведение равно 27 . Найдите первый член

Определения: арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждое число a_n, начиная со второго, равно сумме предыдущего a_n-1 и постоянного числа d, называемого разностью прогрессии: a_n = a_n-1 + d. Любой член прогрессии можно выразить через первый член: a_n = a₁ + d * (n - 1).

Решение задачи:

Первое уравнение в соответствии с условием задачи: a₁ + a₃ = 6.

Второе уравнение в соответствии с условием задачи: a₁ * a₃ = 27.

Подставим выражение для a3 через a1 и d: a₃ = a₁ + 2 * d. Получим систему уравнений:

• a₁ + a₁ + 2 * d = 6;
• a₁ * (a₁ + 2 * d) = 27.

Или:

• 2 * a₁ + 2 * d = 6; отсюда d = 3 - a₁.
• a₁^2 + 2 * a₁ * d = 27.

Подставим выражение для d во второе уравнение. Получим: a₁^2 - 6 * a₁ + 27 = 0. Дискриминант уравнения d^2 = 36 - 108 = - 72. То есть, система уравнений не имеет решения в действительных числах. 

Если изменить условие задачи, например: сумма 1-го и 3-го членов равна 12, а произведение 27, то тогда есть два решения: 1). a₁ = 3; d = 3; 2). a₁ = 9; d = -3.