Найти общее решение дифференциального уравнения: y''-2y'+5y=cos(7x)

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение y\'\' – 2 * y\' + 5 * y = cos(7 * x). Анализ данного уравнения показывает, что оно является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим сначала соответствующее линейное однородное уравнение y\'\' – 2 * y\' + 5 * y = 0.
2. Характеристическое уравнение для последнего уравнения имеет вид: k² - 2 * k + 5 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b²– 4 * a * c = (-2)² – 4 * 1 * 5 = 4 - 20 = -16. Так как дискриминант меньше нуля, то квадратное уравнение не имеет действительных решений. Его комплексными решениями будут: k₁ = 1 – 2 * i  и k₁ = 1 + 2 * i. Следовательно, решение однородного уравнения имеет вид: y = e^x * (C₁ * cos(2 * x) + C₂ * sin(2 * x)), где C₁ и C₂ – константы.
3. Рассмотрим правую часть данного неоднородного уравнения, которую обозначим через f(x). Она имеет вид: f(x) = cos(7 * x). Следовательно, частное решение неоднородного уравнения ищем в виде у = А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x). Вычислим производные: уꞋ = (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x))Ꞌ = -7 * А * sin(7 * x) + 7 * В * cos(7 * x) и уꞋꞋ = (уꞋ)Ꞌ = (-7 * А * sin(7 * x) + 7 * В * cos(7 * x))Ꞌ = -49 * (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)).
4. Подставим найденные выражения в исходное дифференциальное уравнение. Тогда, получим: y\'\' – 2 * y\' + 5 * y = -49 * (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)) – 2 * (-7 * А * sin(7 * x) + 7 * В * cos(7 * x)) + 5 * (А * cos(7 * x) + B * sin(7 * x)) = cos(7 * x) или 14 * A * sin(7 * x) – 44 * A * cos(7 * x) – 44 * B * sin(7 * x) – 14 * B * cos(7 * x) = cos(7 * x).
5. Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях, получаем следующую систему уравнений: (при sin(7 * x)) уравнение 14 * A – 44 * B = 0 и (при cos(7 * x)) уравнение -44 * A – 14 * B = 1. Решая ее, находим: A = -11/533; B = -7/1066. Итак, частное решение имеет вид: y = (-11/533) * cos(7 * x) – (7/1066) * sin(7 * x).
6. Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения имеет вид: y = e^x * (C₁ * cos(2 * x) + C₂ * sin(2 * x)) - (11/533) * cos(7 * x) – (7/1066) * sin(7 * x), где C₁ и C₂ – константы.