Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой сумма всех чле6 равна 112, произведение второго члена на разность

   1. Пусть an - арифметическая прогрессия. Тогда сумма всех членов равна:

• Sn = 112;
• (a1 + (n - 1)d)n/2 = 112;
• (a1 + (n - 1)d)n = 224. (1)

   2. Составим систему:

• {a2d = 30;{a3 + a5 = 32;
• {(a1 + d)d = 30;{a1 + 2d + a1 + 4d = 32;
• {(a1 + d)d = 30;{2a1 + 6d = 32;
• {(a1 + d)d = 30;{a1 + 3d = 16;
• {(16 - 3d + d)d = 30;{a1 = 16 - 3d;
• {(16 - 2d)d = 30;{a1 = 16 - 3d;
• {16d - 2d^2 = 30;{a1 = 16 - 3d;
• {8d - d^2 = 15;{a1 = 16 - 3d;
• {d^2 - 8d + 15 = 0;{a1 = 16 - 3d;

• D/4 = 4^2 - 15 = 1;
• d = 4 ± 1;

   a) d = 4 - 1 = 3;

      a1 = 16 - 3d = 16 - 3 * 3 = 7;

• (7 + (n - 1)3)n = 224;
• (7 + 3n - 3)n = 224;
• (3n + 4)n = 224;
• 3n^2 + 4n - 224 = 0;

• D1/4 = 2^2 + 3 * 224 = 4 + 672 = 676 = 26^2;
• n = (-2 ± 26)/3;

• n1 = -28/3, не подходит;
• n2 = 24/3 = 8.

   b) d = 4 + 1 = 5;

      a1 = 16 - 3d = 16 - 3 * 5 = 1;

• (1 + (n - 1)5)n = 224;
• (5n - 4)n = 224;
• 5n^2 - 4n - 224 = 0;

• D2/4 = 2^2 + 5 * 224 = 4 + 1120 = 1124;
• √D2/4 - не целое число, не подходит.

   3. Единственное решение:

• d = 3;
• a1 = 7;
• n = 8;

   Первые три члена прогрессии:

• a1 = 7;
• a2 = 7 + 3 = 10;
• a3 = 10 + 3 = 13.

   Ответ:

• 1) n = 8;
• 2) 7, 10, 13.