Три числа, сумма которых равна 84, образуют геометрическую прогрессию. Они являются первым, шестым и шестнадцатым членами

1. Искомые числа обозначим через х, у и z.
2. Начальное условие задания позволяет написать х + у + z = 84.
3. Поскольку, эти числа образуют геометрическую прогрессию, то х * z = у².
4. Используя условие задания о том, что х, у и z являются первым, шестым и шестнадцатым членами арифметической прогрессии имеем: у = х + 5 * d и z = х + 15 * d, где d – разность арифметической прогрессии, причем d > 0.
5. Предпоследнее равенство позволяет выразить 5 * d = у – х. Подставляя это в последнее равенство, получим:  z = х + 3 * (у – х), откуда z = 3 * у – 2 * х.
6. Вспомним равенство х + у + z = 84. Имеем х + у + 3 * у – 2 * х = 84, откуда х = 4 * у – 84.
7. Следовательно, z = 3 * у – 2 * (4 * у – 84) = 168 – 5 * у.
8. Подставляя выражения для х и z в равенство х * z = у² и выполняя несложные преобразования получим квадратное уравнение 3 * у² – 156 * у + 2016 = 0, которое имеет два корня: у₁ = 24 и у₂ = 28 (это побочный корень, так как если у = 28, то х = 4 * 28 – 84 = 28 и 5 * d = у – х = 28 – 28 = 0, откуда  d = 0 : 5 = 0, что противоречит тому, что d > 0).
9. Если у = 24, то х = 4 * 24 – 84 = 12 и z = 168 – 5 * 24 = 48. Наибольшее из х = 12, у = 24 и z = 48 является 48.

Ответ: 48.