Перед началом соревнований спортсмены обменялись рукопожатиями.Сколько было спортсменов,если они обменялись 210 рукопажатиям

Обозначим через n число спортсменов.

Тогда первый спортсмен обменялся рукопожатиями с остальными спортсменами, что составило n - 1 рукопожатие.

Так как второй спортсмен уже пожал руку первому, то он число всех его остальных рукопожатий составило n - 2.

Так как третий спортсмен уже пожал руку первому и второму, то он число всех его остальных рукопожатий составило n - 3.

Продолжая такие рассуждения, находим общее число рукопожатий:

n - 1 + n - 2 + n - 3 + ... + 3 + 2 + 1.

Используя формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии S_n = (2 * a1 + d * (n - 1)) * n / 2, получаем:

n - 1 + n - 2 + n - 3 + ... + 3 + 2 + 1 = S_n-1 = (2 * 1 + 1 * (n - 1 - 1)) * (n - 1) / 2 = (2 + n - 1 - 1) * (n - 1) / 2 = n * (n - 1) / 2.

Теперь можем составить уравнение:

n * (n - 1) / 2 = 210.

Решаем это уравнение:

n^2 - n = 420;

n^2 - n - 420 = 0;

n = (1 ± √(1 + 4 * 420)) / 2 = (1 ± √(1 + 1680)) / 2 = (1 ± √1681) / 2 = (1 ± 41) / 2;

n1 = (1 - 41) / 2 = -40 / 2 = -20;

n2 = (1 + 41) / 2 = 42 / 2 = 21.

Так как число спортсменов не может быть отрицательным, то значение n = -20 не подходит.

Ответ: был 21 спортсмен.