Ему стало досадно,и он стал барабанить в запертую дверь ногой и шашкой а)сложносочиненное предложение с соединительными

Ему стало досадно (составное именное сказуемое, первая грамматическая основа в сложном сложносочиненном предложении), и он (подлежащее) стал барабанить (составное глагольное сказуемое, вторая грамматическая основа) в запертую дверь ногой и шашкой.

Предложение сложное, с двумя грамматическими основами, которые соединяет сочинительный союз \"И\", значит, предложение сложносочиненное, кроме того, союз \"И\" является соединительным. 

Верный вариант: а) сложносочиненное предложение с соединительными союзами.