Из множества дробей 153/369, 234/357, 204/492, 387/504, 17/41, 425/537 выделить подмножества: а) несократимых дробей

1. Как известно, для того, чтобы обыкновенная дробь была несократимой необходимо и достаточно, чтобы числитель и знаменатель этой дроби были взаимно простыми числами. Формально это утверждение представляется так: дробь m/n (где m, n ϵ N, N – множество натуральных чисел) несократима тогда и только тогда, когда НОД(m; n) = 1 (НОД – наибольший общий делитель).
2. А) 153/369. Имеем, НОД(153; 369) = 9 ≠ 1 (не остановимся на деталях вычислений). Сократим: 153/369 = 17/41.
3. Б) 234/357. Имеем, НОД(234; 357) = 3 ≠ 1. Сократим: 234/357 = 78/119.
4. В) 204/492. Имеем, НОД(204; 492) = 12 ≠ 1. Сократим: 204/492 = 17/41.
5. Г) 387/504. Имеем, НОД(387; 504) = 9 ≠ 1. Сократим: 387/504 = 43/56.
6. Д) 17/41. Числитель (17) и знаменатель (41) этой дроби простые числа, следовательно, НОД(17; 41) = 1. Дробь 17/41 – несократима.
7. Е) 425/537. Имеем, НОД(425; 537) = 1, так как 425 = 5 * 5 * 17 и 537 = 3 * 179; у чисел 425 и 537, кроме 1, нет общих делителей. Дробь 425/537 – несократима.
8. Из данного множества дробей выделим: а) подмножество несократимых дробей. Оно имеет два элемента и может быть представлено так: {17/41; 425/537}. Анализ всех дробей показывает, что среди данных дробей только три дроби равны между собой: 153/369 = 204/492 = 17/41. Оформим их в виде следующего: б) подмножества равных дробей {153/369; 204/492; 17/41}.

Ответы: а) подмножество несократимых дробей – {17/41; 425/537}; б) подмножество равных дробей – {153/369; 204/492; 17/41}.