Теплоход движется по реке из пункта А в пункт В со скоростью 10 км/ч, а в обратном направлении - со скоростью 16 км/ч.

V1 = 10 км/ч.

V2 = 16 км/ч.

Vт - ?

Vср - ?

Выразим скорость теплохода против течения V1 разностью: V1 = V - Vт, где V - скорость теплохода относительно воды (собственная), Vт - скорость течения.

Скорость теплохода за течением V2 будет суммой:  V2 = V + Vт.

Сложим первое равенство со вторым:  V1 + V2 = V - Vт + V + Vт.

V = (V1 + V2) / 2.

V = (10 км/ч + 16 км/ч) / 2 = 13 км/ч.

Vт = V2 - V.

Vт = 16 км/ч - 13 км/ч = 3 км/ч.

Для нахождения средней скорости движения Vср необходимо весь пройдённый путь S разделить на время его прохождения t: Vср = S / t.

Время прохождения всего пути выразим суммой: t = t1 + t2, где t1 - время движения против течения, t2 - время движения за течением.

t1 = S1 / V1 = S / 2 * V1.

t2 = S2 / V2 = S / 2 * V2. 

t = S / 2 * V1 + S / 2 * V2 = (S * V2 + S * V1) / 2 * V1 * V2 = S * (V2 + V1) / 2 * V1 * V2.

Vср = S * 2 * V1 * V2 / S * (V2 + V1) = 2 * V1 * V2 / (V2 + V1).

Vср = 2 * 10 км/ч * 16 км/ч / (16 км/ч + 10 км/ч) = 12,3 км/ч.

Ответ: Vт = 3 км/ч, Vср = 12,3 км/ч.