Сколько вершин имеет многоугольник у которого 54 диагонали

   1. Каждую вершину выпуклого n-угольника можно соединить диагональю с n - 3 вершинами - исключаем эту же, и две соседние вершины.

   2. Поскольку в каждой диагонали участвуют две вершины, то количество диагоналей n-угольника равно:

      N(n) = n(n - 3)/2.

   3. По условию задачи имеем:

• n(n - 3)/2 = 54;
• n(n - 3) = 108;
• n^2 - 3n - 108 = 0;

• D = 3^2 + 4 * 108 = 9 + 432 = 441;
• n = (3 ± √441)/2 = (3 ± 21)/2;

• n1 = (3 - 21)/2 = -18/2 = -9 - не подходит по смыслу задачи;
• n2 = (3 + 21)/2 = 24/2 = 12.

   Ответ: 12 вершин.