Сколько существует трехзначных чисел которые которые в пять раз больше произведения своих цифр

Обозначим каждый разряд чисел своей буквой:

К - количество сотен;

У - количество десятков;

Х - количество единиц.

При этом каждое из чисел является целым положительным однозначным числом:

0 ≤ K ≤ 9;

0 ≤ У ≤ 9;

0 ≤ Х ≤ 9. 

Составим уравнение:

Х + У * 10 + К * 100 = 5 * Х * У * К;

Среди чисел не может быть нуля. Если хоть одна цифра равна нулю, то произведение будет тоже равно нулю.

Учитывая, что искомое число (или числа) кратно пяти и нули в числе исключаются, то последняя цифра может быть равна только пяти:

5 + 10 * У  + 100 * К = 5 * 5 * У * К;

5 * (1 + 2 * У  + 20 * К) = 25 * У * К;

Разделим обе части уравнения на 5:

1 + 2 * У + 20 * К = 5 * У * К.

Получили слева опять выражение кратное пяти. 20 кратно пяти и (1 + 2 * У)  тоже должно быть кратно пяти. При этом не забываем, что У целое число и У < 10. Значит У может быть равен только двум числам:

У = 2; (1 + 2 * У = 1 + 2 * 2 = 5);

У = 7; (1 + 2 * У = 1 + 2 * 7 = 15).

Подставим попеременно полученные значения:

Если У = 2, то:

1 + 2 * 2 + 20 * К = 5 * 2 * К;

5 + 20 * К = 10 * К;

10 * К = - 5.

Решение у такого уравнения есть, только нам оно не подходит, так как К должно быть больше нуля.

Проверим второй вариант:

У = 7;

1 + 2 * 7 + 20 * К = 5 * 7 * К;

1 + 14  = 35 * К – 20 * К;

15 * К = 15;

К = 1.

Значит искомых чисел только одно и равно оно 175.