Боковая грань правильной четырёхугольной пирамиды наклонена к плоскости основания под углом α. Отрезок, который соединяет

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2OITIEs).

Так как точка Н середина высоты ОК, а точка Р середина апофемы КМ, то отрезок НР есть средняя линия прямоугольного треугольника КОМ, тогда ОМ = 2 * НР = 2 * а см.

Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат. Точка М есть середина стороны СД, так как апофема КМ есть высота и медиана боковой грани. Тогда АВ = ВС = СД = АС = 2 * ОС = 4 * а см.

Тогда Sосн = АВ² = 16 * а².

В прямоугольном треугольнике КОМ, tgα = ОК = ОМ = h / OM.

h = ОМ * tgα = 2 * a * tgα.

Тогда V = Sосн * h / 3 = 16 * а² * 2 * a * tgα / 3 = 32 * а³ * 2 * tgα / 3 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 32 * а³ * 2 * tgα / 3 см³.