Какой частью речи является (или какими частями речи являются) "прежде чем"? И где ставить запятую в предложении "И никому

И никому не приходила в голову нелепая мысль, до основания разломать старый дом, прежде чем начать строить новый.

(Что?) мысль - подлежащее (имя существительное).

Мысль (Что делала?) не приходила - сказуемое (глагол).

Подлежащего во второй части предложения нет.

(Что сделать?) разломать - сказуемое (глагол).

Подлежащего в третьей части предложения нет.

(Что сделать?) начать строить - сказуемое (глагол).

Это сложное предложение, состоящее из трех частей, поэтому в нем необходимо поставить две запятые.

Прежде чем является союзным словом.