Стороны треугольника 10 см, 17 см и 21 см. Из вершины большего угла этого треугольника проведен перпендикуляр к его плоскости,

1. Дано: http://bit.ly/PloskPerp10172115, где ΔAВС имеет стороны ВС = 10 см, АС = 17 см и АВ = 21 см;  SС ┴ α, α – плоскость, где лежит ΔAВС; SС = 15 см.
2. Требуется определить: расстояние от концов перпендикуляра (отрезка SС) до большей стороне (до стороне АВ).
3. Известно, что расстояние от точки до прямой на плоскости – это кратчайшее расстояние от точки до прямой. Это расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой.
4. Проведём отрезок СЕ ┴ АВ. Тогда, ясно, что SЕ ┴ АВ, так как отрезок СЕ является проекцией SЕ на α, где лежит АВ.
5. Таким образом, выяснили, что требуется найти СЕ и SЕ.
6. Поскольку, СЕ ┴ АВ, то СЕ является высотой  ΔAВС, опущенной с вершины С, следовательно, площадь (S) треугольника AВС можно выразить как S = ½ * АВ * СЕ.
7. С другой стороны, согласно формуле Герона S = [p * (p – a) * (p – b) * (p – c)]^½, где a, b и c – стороны треугольника, р = (a + b + c) / 2 – полупериметр. Имеем р = (10 см + 17 см + 21 см) / 2 = 24 см; S = [(24 см) * (24 см – 10 см) * (24 см – 17 см) * (24 см – 21 см)]^½ = √(24 * 14 * 7 * 3) см² = 84 см².
8. Следовательно, ½ * (21 см) * СЕ = 84 см², откуда СЕ = 2 * (84 см²) / (21 см) = 8 см.
9. Поскольку, SС ┴ СЕ, то ∠SСЕ = 90°, следовательно, ΔSСЕ – прямоугольный треугольник. Согласно теореме Пифагора SЕ² = SС² + СЕ² или SЕ² = (15 см)² + (8 см)² = (225 + 64) см² = 289 см², откуда SЕ = 13 см.

Ответ: Расстояние от конца перпендикуляра, лежащего на плоскости до большей стороне треугольника равно 8 см; расстояние от конца перпендикуляра, не лежащего на плоскости до большей стороне треугольника равно 13 см.