Составьте уравнение касательной к кривой y=x-1/x в точках ее пересечения с осью ОХ.

Уравнение касательной имеет вид: у = f(x₀) + f\'(x₀)(x - x₀).

Найдем точки пересечения кривой с осью х: у = 0.

x - 1/x = 0.

(х² - 1)/х = 0.

ОДЗ: х не равно 0.

х² - 1 = 0; х = -1 и х = 1.

1) х₀ = 1.

f(x₀) = f(1) = 1 - 1/1 = 1 - 1 = 0.

у\' = (x - 1/x)\' = (x - x^-1)\' = 1 + x^-2 = 1 + 1/x².

f\'(x₀) = f\'(1) = 1 + 1/1² = 2.

Уравнение касательной: у = 0 + 2(х - 1) = 2х - 2.

2) х₀ = -1.

f(x₀) = f(-1) = 1 - 1/(-1) = 1 + 1 = 2.

у\' = 1 + 1/x².

f\'(x₀) = f\'(-1) = 1 + 1/(-1)² = 2.

Уравнение касательной: у = 2 + 2(х - (-1)) = 2 + 2(х + 1) = 2 + 2х + 4 = 2х + 4.

Ответ: у = 2х - 2 и у = 2х + 4.