Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 96, боковая сторона равна 58. Найти длину диагонали трапеции

1. Дано: http://bit.ly/Trap169658, где AD || BC, BC = 19, AD = 96, AB = CD = 58.
2. Требуется определить: длину диагонали трапеции.
3. Воспользуемся следующим свойством равнобедренной трапеции. Углы при любом основании равны ∠BAD = ∠CDA, ∠ABC = ∠DCB.
4. Проведём диагональ АС и применим полученным двум треугольникам ABC и CDA теорему косинусов: АС² = АВ² + ВС² – 2 * АВ * ВС * cos∠ABC = 3620 – 1856 * cos∠ABC и АС² = АD² + СD² – 2 * АD * СD * cos∠CDA = 12580 – 11136 * cos∠CDA.
5. Имеем: cos∠ABC = (3620 – АС²) / 1856 и cos∠CDA = (12580 – АС²) / 11136.
6. Поскольку AD || BC, а прямая АС пересекает их, то сумма односторонних углов ∠ABC и ∠BAD равна 180°, то есть, ∠ABC + ∠BAD = 180° или ∠ABC + ∠CDA = 180°, откуда ∠CDA = 180° – ∠ABC.
7. Вспомним следующую формулу приведения cos(180° – α) = –cosα и заметим, что cos∠CDA = cos(180° – ∠ABC) = –cos∠ABC.
8. Следовательно, (12580 – АС²) / 11136 = –(3620 – АС²) / 1856 или 12580 – АС² = 6 * (АС² –3620), откуда АС² = (12580 + 6 * 3620) / (6 + 1) = 34300 / 7 = 4900, то есть АС = 70.

Ответ: Длина диагонали трапеции равна 70.