Какова должна быть последняя цифра пятизначного числа делящегося на 19 если четыре цифры этого числа пятёрки?

1. Как известно, делимость на 19 зависит от соотношения цифр в записи числа с его последней цифрой. Натуральное число делится на 19, если сумма этого числа без его последней цифры и удвоенная последняя цифра делится на 19.
2. Допустим, что последняя цифра данного пятизначного числа, делящегося на 19, равна а. Ясно, что цифра а может быть одной из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9.
3. Проверим каждую из этих цифр по отдельности, при этом проверку делимости на 19 повторим нужное количество раз.
4. При а = 0, имеем 55550. Составим сумму: 5555 + 2 * 0 = 5555, далее – 555 + 2 * 5 = 565, ещё раз – 56 + 2 * 5 = 66, наконец – 6 + 2 * 6 = 18 не делится на 19. Следовательно, и 55550 не делится на 19.
5. При а = 1, имеем 55551. (Далее в целях экономии записи оставим только числа): 5555 + 2 * 1 = 5557; 555 + 2 * 7 = 569; 56 + 2 * 9 = 74; 7 + 2 * 4 = 15. Не делится на 19.
6. При а = 2; 55552; 5555 + 2 * 2 = 5559; 555 + 2 * 9 = 573; 57 + 2 * 3 = 63; 6 + 2 * 3 = 12. Не делится на 19.
7. При а = 3; 55553; 5555 + 2 * 3 = 5561; 556 + 2 * 1 = 568; 56 + 2 * 8 = 72; 7 + 2 * 2 = 11. Не делится на 19.
8. При а = 4; 55554; 5555 + 2 * 4 = 5563; 556 + 2 * 3 = 562; 56 + 2 * 2 = 70; 7 + 2 * 0 = 7. Не делится на 19.
9. При а = 5; 55555; 5555 + 2 * 5 = 5565; 556 + 2 * 5 = 566; 56 + 2 * 6 = 68; 6 + 2 * 8 = 22. Не делится на 19.
10. При а = 6; 55556; 5555 + 2 * 6 = 5567; 556 + 2 * 7 = 570; 57 + 2 * 0 = 57; 5 + 2 * 7 = 19 делится на 19. Следовательно, 55556 также делится на 19.
11. Дальнейшая проверка бесполезна, так как следующим за 55556 числом, делящимся на 19, является число 55556 + 19 = 55575.

Ответ: 6.