Докажите,что для любого натурального n верно равенство: 1) (n+1)!-n!+(n-1)!=(n^2+1)(n-1)! 2) (n+1)! \ (n-1)! =n^2+n

1. В задании требуется доказать два равенства, где используется понятие факториал. Факториал числа это произведение натуральных чисел от 1 до самого числа (включая данное число).
2. 1) Согласно определения факториала, (n + 1)! = (n – 1)! * n * (n + 1) и n! = (n – 1)! * n. Подставляя правые части этих равенств в левую часть доказываемого равенства, а затем используя распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания, получим: (n + 1)! – n! + (n – 1)! = (n – 1)! * n * (n + 1) – (n – 1)! * n + (n – 1)! = (n² + n – n + 1) * (n – 1)! = (n² + 1) * (n – 1)!. Равенство доказано.
3. 2) Здесь также выполняя подобные вычисления как в п. 2, получим (n + 1)! / (n – 1)! = ((n – 1)! * n * (n + 1)) / (n – 1)! = (n² + n) * (n – 1)! / (n – 1)! = n² + n. Что и требовалось доказать.
4. Примечание. В п. 3 сокращение на (n – 1)! выполнимо для любого натурального n, даже при n = 1, так как по общепринятому соглашению, 0! = 1 (заметим, что последнее равенство не подчиняется определению факториала).