В треугольник АВС вписан квадрат так,что одна из его сторон лежит на АВ,найдите сторону квадрата если АВ=АС=8 и ВС=8√0,4.

Выполним чертеж. Пусть KLMN - данный квадрат. Обозначим сторону квадрата за х.

https://bit.ly/2K0oGIx

Найдем градусную величину угла А по теореме косинусов:

ВС² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosA.

(8√0,4)² = 8² + 8² - 2 * 8 * 8 * cosA.

25,6 = 128 - 128cosA.

128cosA = 102,4.

cosA = 0,8.

Тогда sinA = √(1 - 0,8²) = √0,36 = 0,6.

В треугольнике АКL (угол К = 90°) sinA = KL/AL = 6/10, cosA = AK/AL = 8/10.

Значит стороны треугольника AKL относятся KL : AK : AL = 6 : 8 : 10 = 3 : 4 : 5.

Пусть KL = 3а, AK = 4а, AL = 5а.

Так как KL это и сторона квадрата, то KL = 3а = х.

Треугольник LMC - равнобедренный (NK параллельна LM как противоположные стороны квадрата), значит LC равна LM = х.

Сторона АС = AL + CL = 5а + х = 5а + 3а = 8.

Отсюда 8а = 8, а = 1.

Значит, сторона квадрата KL = 3а = 3 * 1 = 3.

Ответ: сторона квадрата равна 3.