Докажите ,что значение выражения 91^10+42^10-85^10 кратно 10.

1. Натуральное число делится на 10 без остатка (то есть, кратно 10) только в том случае, если оно оканчивается на нуль.
2. Докажем, что значение выражения 91¹⁰ + 42¹⁰ – 85¹⁰ оканчивается на нуль.
3. Данное выражение состоит из алгебраической суммы трёх степеней: 91¹⁰, 42¹⁰ и 85¹⁰. Ясно, что эти числа имеют следующее общее свойство: значение последней цифры результата зависит только от последней цифры основания. Кроме того, числа 91¹⁰ и 85¹⁰ (независимо от показателя степени 10) оканчиваются на ту же цифру, на какую оканчиваются их основания, то есть степень 91¹⁰ оканчивается на цифру 1, а степень 85¹⁰ – на 5.
4. Со степенью 42¹⁰ немножко нужно возиться. Дело в том, что в зависимости от показателя степени n, число 42ⁿ может оканчиваться на одну из цифр: 2, 4, 8, 6, причем такая последовательность последних цифр для последовательных показателей степени n, является периодической.
5. Для первых десяти n, последние цифры степени 42ⁿ, представлены в следующей таблице:

n

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Последняя цифра 42ⁿ

2

4

8

6

2

4

8

6

2

4

Таким образом, последняя цифра выражения 91¹⁰ + 42¹⁰ – 85¹⁰, равна 1 + 4 – 5 = 0. Что и требовалось доказать.