Найти наименьшее значение выражения 4sin^2x+12sinx+tg^2y-6tgy

Имеем выражение:

4 * sin^2 x + 12 * sin x + tg^2 y - 6 * tg y.

Имеем две разные тригонометрические функции двух разных аргументов. Функции находятся в первой и второй степенях. Преобразуем выражение - выделим квадраты сумм и разностей тригонометрической функции и числа:

4 * sin^2 x + 12 * sin x + tg^2 y - 6 * tg y = (2 * sin x)^2 + 2 * (2 * sin x) * 3 + 3^2 - 9 + tg^2 y - 2 * tg y * 3 + 3^2 - 9 = (2 * sin x + 3)^2 + (tg y - 3)^2 - 18.

Рассматриваем каждое слагаемое:

Первое слагаемое принимает минимальное значение при sin x = -1, то есть получится единица. 

Второе слагаемое равно нулю при tg y = 3.

Тогда получим:

1 + 0 - 18 = -17.