Пусть a, b, c– целые числа. Докажите, что если a=b+c, то а4+b4+c4 есть удвоенный квадрат целого числа.

Учитывая условие (a = b + c) и применяя формулы квадрата суммы и разности двух чисел, получим:

a⁴ + b⁴ + c⁴ = a⁴ + ( (b²)² + (c²)²) = a⁴ + ( (b² + c²)² - 2 * b² * c²) =

= a⁴ + ( ( (b + c)² - 2 * b * c)² - 2 * b² * c²) = a⁴ + ( (a² - 2 * b * c)² - 2 * b² * c²) = 

= a⁴ + ( (a²)² - 2 * a² * (2 * b * c) + (2 * b * c)² - 2 * b² * c²) =

= a⁴ + a⁴ - 4 * a² * b * c + 4 * b² * c² - 2 * b² * c² = 2 * a⁴ - 4 * a² * b * c + 2 * b² * c² =

= 2 * ( (a²)² - 2 * (a²) * (b * c) + (b * c)²) = 2 * (a² - b * c).