Дана трапеция ABCD , у которой сторона AB перпендикулярна основаниям. Окружность, проходящая через точки D и C , касается

Чертёж к задаче: https://bit.ly/2HUrBMV.

1) Проведём отрезки KC и KD. Заметим, что эти отрезки будут хордами окружности. Также основание перпендикуляра, опущенного из точки K на CD обозначим за H.2) Известна теорема о том, что угол, заключенный между касательной к окружности и её хордой (концом которой является точка касания), равен половине дуги окружности, стягиваемой этой хордой и заключённой внутри этого угла. Также известно, что вписанный в окружность угол равен половине той дуги, на которую он опирается. Получаем как следствие из этих двух теорем:∠ AKD = ∠ DCK  и ∠ BKC = ∠ CDK. 3) Если равны углы, то равны и их синусы. Получаем:sin (∠ AKD) = sin (∠ DCK) и sin (∠ BKC) = sin (∠ CDK).4) Из прямоугольного треугольника AKD sin (∠ AKD) = AD / DK = 49 / DK. Из прямоугольного треугольника CKH sin (∠ HCK) = sin (∠ DCK) = KH / CK. Получаем: 49 / DK = KH / CK, 49 * CK = DK * KH.5) Из прямоугольного треугольника BKC sin (∠ BKC) = BC / CK = 36 / CK. Из прямоугольного треугольника DKH sin (∠ HDK) = sin (∠ CDK) = KH / DK. Получаем: 36 / CK = KH / DK, 36 * DK = KH * CK.6) Делением конечного уравнения пункта 4 на конечное уравнение пункта 5 получаем: 49 * CK / KH * CK = DK * KH / 36 * DK, 49 / KH = KH / 36, KH² = 36 * 49, откуда KH = 6 * 7 = 42.ОТВЕТ: 42.