Существует ли многогранник с нечетным числом граней, каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Докажем, что такой фигуры не существует.

Для этого подсчитаем кол-во ребер (сторон) в данной фигуре.

Обозначим за S - кол-во ребер.

Очевидно, что S должно быть натуральным числом.

Рассмотрим другую величину A, которая равна сумме сторон на каждой гране.

Тогда должно выполнятся соотношение S = A / 2 (поскольку каждое ребро мы учли дважды).

Но число A является нечетным, поскольку оно содержит нечетное количество нечетных слагаемых (нечетное кол-во граней, которые имеют нечетное кол-во сторон).

Значит из соотношения S - нецелое, что невозможно.