Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды равна 30420мм квадратных, а ее боковое ребро - 169мм.Найти площадь

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2BW7FJy).

Боковые грани правильной пирамиды есть равновеликие равнобедренные треугольники, тогда Sвсд = Sбок / 3 = 30420 / 3 = 10140 мм².

Пусть угол ДВС = α, тогда Sвсд = ВД * СД * Sinα / 2.

Sinα = 2 * Sвсд / ВД * СД = 2 * 10140 / 169 * 169 = 120 / 169.

Определим косинус угла ВСД.

Cos²α = 1 – Sin²α.

Cosα = √(1 – Sin²α) = √(1 – (120 / 169)²) = 119 / 169.

Применим теорему косинусов для треугольника.

СВ² = ДС² + ДВ² – 2 * ДС * ДВ * Cosвсд = 28561 + 28561 – 2 * 28561 * 119 / 169 = 57122 – 40222 = 16900.

СВ = √16900 = 130 мм.

Треугольник АВС равносторонний, тогда АН = СВ * √3 / 2 = 130 * √3 / 2 = 65 * √3 мм.

Определим площадь основания.

Sосн = ВС * АН / 2 = 130 * 65 * √3 / 2 = 4225 * √3 см².

Ответ: Площадь основания равна 4225 * √3 см².