Правильно ли записано предложение? Elaine is Clare`s and Jay`s mum.

Неправильно.

Притяжательный падеж образуется путем прибавления к существительному окончания -\'s (апострофа и буквы s). Если выражена принадлежность сразу к нескольким существительным, то апостроф ставится в конце группы.

Правильный вариант предложения: Elaine is Clare and Jay\'s mum.