В результате изменения цены, изменилась величина спроса, и общая выручка сократилась на 2%, причем известно, что эластичность спроса по цене равнялась -3. На сколько процентов изменились цена и величина спроса?

Для решения задачи воспользуемся формулой дохода:

TR = P * Q

где TR - общая выручка, P - цена, Q - количество товара.

Условие задачи говорит нам, что общая выручка сократилась на 2%, то есть:

TR2 = 0.98 * TR1

Также известна эластичность спроса по цене:

ε = (% изменения Q) / (% изменения P)

или

ε = (ΔQ / Q) / (ΔP / P)

где ΔQ - изменение количества, Q - исходное количество, ΔP - изменение цены, P - исходная цена.

Мы ищем процентное изменение цены и процентное изменение величины спроса. Для этого используем следующие формулы:

% изменения P = ΔP / P * 100%

% изменения Q = ΔQ / Q * 100%

Из уравнения эластичности спроса можно выразить ΔQ / Q:

ΔQ / Q = ε * ΔP / P

Подставляем известные значения и решаем уравнения:

0.98 * P1 * Q1 = P2 * Q2

-3 = (ΔQ / Q) / (ΔP / P)

ΔQ / Q = -3 * ΔP / P

Мы ищем процентное изменение цены и величины спроса, поэтому вместо ΔP и ΔQ подставляем x и y соответственно:

0.98 * P1 * Q1 = (P1 + x) * (Q1 + y)

-3 = y / x

Теперь можем решить систему уравнений методом подстановки:

-3 = y / x

y = -3x

0.98 * P1 * Q1 = (P1 + x) * (Q1 - 3x)

0.98 * P1 * Q1 = P1Q1 + Px - 3xQ1 - 3x^2

0.98 * P1 * Q1 - P1Q1 = Px - 3xQ1 - 3x^2

0.98 * Q1 - P1 = x (P - 3Q1 - 3x)

x = (0.98 * Q1 - P1) / (P - 3Q1 - 3x)

Подставляем известные значения и решаем уравнение:

x = (0.98 * 100 - 50) / (100 - 3 * 100 - 3x)

x = -4

Таким образом, цена снизилась на 4%, а величина спроса выросла на 12%.