Концерн «Автодом» имеет два завода по производству автозапчастей. На обоих заводах производятся продукты R И S, причём на первом заводе можно B месяц произвести 390 единиц продукта R, а на втором - 450 единиц продукта R. «Автодом» может свободно выбирать количество произведённых продуктов, причём производство дополнительной единицы продукта S возможно за счёт сокращения выпуска продукта R на фиксированную постоянную для каждого завода величину: на 10 единиц продукта R для первого завода и на 4 единицы продукта R для второго. Какое набольшее количество продукта S может произвести «Автодом» за один месяц, если известно, что при этом должно быть выпущено не менее 400 единиц продукта R?

Відповідь: Пусть «Автодом» производит x единиц продукта S на первом заводе и y единиц продукта S на втором заводе. Тогда он производит (390 - 10x) единиц продукта R на первом заводе и (450 - 4y) единиц продукта R на втором заводе.

Общее количество продукта R, которое должно быть выпущено, не менее 400:

(390 - 10x) + (450 - 4y) ≥ 400

840 - 10x - 4y ≥ 400

10x + 4y ≤ 440

2.5x + y ≤ 110

Максимальное значение y, которое может произвести «Автодом», достигается при минимальном значении x. Для этого нужно максимизировать левую часть уравнения 2.5x + y ≤ 110 при условии, что выполняется ограничение на производство продукта R. Для этого можно использовать метод Лагранжа:

L(x, y, λ) = 2.5x + y - λ((390 - 10x) + (450 - 4y) - 400)

∂L/∂x = 2.5 + 10λ = 0

∂L/∂y = 1 + 4λ = 0

∂L/∂λ = (390 - 10x) + (450 - 4y) - 400 = 0

Отсюда λ = -0.25, x = 10, y = 87.5.

Таким образом, «Автодом» может произвести не более 87.5 единиц продукта S в месяц, чтобы выпустить не менее 400 единиц продукта R.

Пояснення: